题目内容
已知数列{an}各项均不为0，且满足关系式an=
（n≥2）．
（1）求证数列{
}为等差数列；
（2）当a1=
时，求数列{
}的前100项和，并写出数列{an}的通项公式．
| 3an-1 |
| an-1+3 |
（1）求证数列{
| 1 |
| an |
（2）当a1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| an |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件推导出
=
=
+
，由此能证明数列{
}为等差数列．
（2）由a1=
，得
=2+（n-1）×
=
n+
，由此能求出数列{
}的前100项和和数列{an}的通项公式．
| 1 |
| an |
| an-1+3 |
| 3an-1 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
（2）由a1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| an |
解答：
（1）证明：∵an=
（n≥2），
∴
=
=
+
，
∴
-
=
，n≥2，
∴数列{
}为等差数列．
（2）解：∵a1=
，∴
=2，
又
-
=
，∴
=2+（n-1）×
=
n+
，
∴数列{
}的前100项和：
S100=
(1+2+3+…+100）+
×100
=
×
+
=
．
∵
=
n+
，
∴an=
．
| 3an-1 |
| an-1+3 |
∴
| 1 |
| an |
| an-1+3 |
| 3an-1 |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| 3 |
∴数列{
| 1 |
| an |
（2）解：∵a1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a1 |
又
| 1 |
| an |
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴数列{
| 1 |
| an |
S100=
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 100×101 |
| 2 |
| 500 |
| 3 |
=
| 5550 |
| 3 |
∵
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
∴an=
| 3 |
| n+5 |
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前100项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．
练习册系列答案
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