Question

已知函数f(x)＝－x³＋ax²－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f ′(n)的最小值是________．

Answer 1

－13

[解析]　求导得f ′(x)＝－3x²＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x³＋3x²－4，f ′(x)＝－3x²＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

∴当m∈[－1,1]时，f(m)_min＝f(0)＝－4.又∵f ′(x)＝－3x²＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f ′(n)_min＝f ′(－1)＝－9.故f(m)＋f ′(n)的最小值为－13.