Question

【题目】设，函数．

（1）若无零点，求实数的取值范围．

（2）若，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调性及值域，确定a的范围即可；

（2）问题转化为证明ex﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝ex﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），求导分析函数的单调性及最值，证明即可．

（1）∵，∴定义域是又，

①当时，无零点；

②当时，，故在上为减函数，

又当时，，所以有唯一的零点；

③当时，

∴在递增，在递减，

∴，则只要，即，

∴而，∴，

综上所述：所求的范围是．

（2）时，，，

要证，问题转化为证明，

整理得：恒成立，

令，

，

故在递减，在递增，

故，

故存在，

使得，

故当或时，递增，

当时，递减，

故的最小值是或，

由，得，

，

∵，故，

故时，，原不等式成立．