Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x-2）+2，4≤x≤6}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，当0≤x₁＜4≤x₂≤6时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）的取值范围是[$\frac{21}{2}$，16）．

Answer 1

分析 先求出x₁的范围，再将x₁f（x₂）转化为x的函数，利用函数的单调性确定x₁f（x₂）的取值范围．

解答 解：∵存在x₁，x₂∈R，当0≤x₁＜4≤x₂≤6时，f（x₁）=f（x₂），
∴log₂（4-2）+2=3，log₂（6-2）+2=4，
∴3≤2x₁-4＜4，
∴$\frac{7}{2}$≤x₁＜4
∵f（x₁）=2x₁-4，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x₁（2x₁-4）=2x₁²-4x₁=2（x₁-1）²-4，
∴y=（x₁-2）²-4，在[$\frac{7}{2}$，4）为增函数，
∴y∈[$\frac{21}{2}$，16）
故答案为：[$\frac{21}{2}$，16）

点评 本题考查分段函数，考查二次函数的性质，正确转化是解题的关键所在，属于中档题．