Question

17．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，已知2sin²$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$sinA．
（I）求角A的大小；
（II）若$\frac{a}{c}$=2cosB，求$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （I）由已知利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，结合sin$\frac{A}{2}$≠0，可求tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，由A的范围可求A的值．
（II）由已知利用余弦定理可得b=c，结合A=$\frac{2π}{3}$，利用正弦定理可求$\frac{a}{b}$的值．

解答 （本题满分为14分）
解：（I）∵2sin²$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$sinA=2$\sqrt{3}$sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$，
又0＜A＜π，可得：0＜$\frac{A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，
故sin$\frac{A}{2}$≠0，
故sin$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$，tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，A=$\frac{2π}{3}$．…7分
（II）由$\frac{a}{c}$=2cosB，得$\frac{a}{c}$=2×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
化简得b=c，…10分
故在△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，b=c，
由此可得$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\sqrt{3}$．…14分．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．