Question

9．如图．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁：
（2）求证：A₁B∥平面C₁AD．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥C₁D，AD⊥CC₁，由此能证明平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁．
（2）连结A₁C，交AC₁于O，连结OD，推导出OD∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面C₁AD．

解答 证明：（1）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，
AD⊥C₁D，AD⊥CC₁，C₁D∩CC₁=C₁，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
∵AD?平面C₁AD，
∴平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁．
（2）连结A₁C，交AC₁于O，连结OD，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D．
平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁，
∴D是BC中点，O是A₁C中点，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?平面C₁AD，OD?平面C₁AD，
∴A₁B∥平面C₁AD．

点评 本题考查面面垂直和线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．