Question

9．求证：x⁸-x⁵+x²-x+1＞0．

Answer 1

分析 设f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1，根据指数函数的单调性，分别讨论x≥0和x＜0时函数值的取值情况，即可得证．

解答 证明：设f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1，
当x=0时，f（x）=1；
当x＞1，根据指数函数的性质可知x⁸＞x⁵，x²＞x，即x⁸-x⁵＞0，x²-x＞0，
则f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1；
当x=1时，f（x）=1；
若0＜x＜1，x²＞x⁵，1-x＞0，
即f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁸+（x²-x⁵）+1-x＞0；
当x＜0，则x⁸＞0，-x⁵＞0，x²＞0，-x＞0，
则f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1＞0．
综上可得，?x∈R，f（x）＞0成立．
即x⁸-x⁵+x²-x+1＞0成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键，属于中档题．