Question

3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-$\frac{m}{3}}$|+|x-$\frac{2m}{3}}$|-m）（m＞0），若对任意的实数x，都有f（x-1）≤f（x）成立，则m的最大值是0＜m≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通过零点分段去掉绝对值，确定函数的解析式，通过图象分析，解决恒成立问题．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x}&{0≤x＜\frac{m}{3}}\\{-\frac{m}{3}}&{\frac{m}{3}≤x＜\frac{2m}{3}}\\{x-m}&{x≥\frac{2m}{3}}\end{array}\right.$，由奇函数的图象特点，画出函数图象，

若对任意的实数x，都有f（x-1）≤f（x）成立的含义为f（x）的图象向右平移一个单位以后图象恒在f（x）的下方或相等．
只需2m≤1，则0＜m≤$\frac{1}{2}$，
故答案为：$0＜m≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性及函数的平移，同时考查了数形结合的数学思想．对于学生灵活解决恒成立问题有很大的帮助．