Question

4．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），观察下列算式：
a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2；
a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•${log}_{{7}^{8}}$=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg8}{lg7}$=3…；
若a₁•a₂•a₃…a_m=2016（m∈N^*），则m的值为2²⁰¹⁶-2．

Answer 1

分析 根据已知中的等式，结合对数的运算性质，可得a₁•a₂•a₃•…•${a}_{{2}^{n}-2}$=n（n≥2），进而得到答案．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2；
a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•${log}_{{7}^{8}}$=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg8}{lg7}$=3；
…
归纳可得：a₁•a₂•a₃•…•${a}_{{2}^{n}-2}$=n（n≥2），
若a₁•a₂•a₃•…•a_m=2016，则m=2²⁰¹⁶-2，
故答案为：2²⁰¹⁶-2

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．