Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0），函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [-2，1]
• B． [-5，1]
• C． [-2，4]
• D． [-5，4]

Answer 1

分析 根据图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，可得周期T=π，求出ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求出g（x），x∈[0，$\frac{π}{3}$]上，求出g（x）范围，可得m的范围．

解答 解：由题意，图象的对称中心到对称轴的最小距离为$\frac{π}{4}$，
∴周期T=π，即$\frac{2π}{ω}=π$
∴ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位长度，得到：$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）$-\frac{1}{2}$=g（x）；
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]上，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
则g（x）∈[-2，1]
要使g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，
则：1-3≤m≤-2+3，
可得：-2≤m≤1，
故选A．

点评 本题主要考查三角函数的性质求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，恒成立的问题转化为最值为，属于中档题．