Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=1，点E、F分别是AB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BD₁；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-BEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据直线平面垂直的性质，判定转化证明线线垂直．（Ⅱ）根据体积公式V B1-BEF=

1

3

×S_△BEF×BB₁，先求解面积，高线问题．

解答： （Ⅰ）证明：连结AC、BD，AC与BD交于点O．
∵DD₁⊥AD，DD₁⊥AC，AD∩DC=D
∴DD₁⊥平面ABCD．
∴DD₁⊥AC，
又四边形是正方形，AC⊥BD，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面BDD₁．
∴AC⊥BD₁
∵点E、F分别是AB、BC的中点
∴EF∥AC，
∴EF⊥BD₁，
（Ⅱ）解：∵AB=1．BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁是三棱锥B₁-BEF的高，
∵AB⊥BC，E，F，分别是AB，CD的中点．
∴S_△BEF=

1

2

×BE×BF=

1

8

，
∴V B1-BEF=

1

3

×S_△BEF×BB₁=

1

24

，

点评：本题考查了直线平面的位置关系，运用定理判断位置关系，求解大小，属于难题．