题目内容
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{n+1}$．分析 利用递推关系与“裂项求和”即可得出．
解答 解：∵Sn=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n，∴当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$，化为an=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$．
点评 本题考查了递推关系与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| A． | c＞a＞b | B． | c＞b＞a | C． | a＞c＞b | D． | a＞b＞c |
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