Question

7．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，在圆锥内部放置一个内接圆柱（圆柱的一底面与圆锥的底面重合），
（Ⅰ）求圆柱的体积V与其底面半径r的函数关系式；
（Ⅱ）求圆柱的体积V最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出圆锥及内接圆柱的轴截面，根据三角形相似对应边成比例，用r表示圆柱的高x，代入圆柱体积公式，可得答案；
（Ⅱ）由（I）中体积的表达式，利用导数法，可得V的最大值点，进而得到V的最大值．

解答 解：（Ⅰ）如下图所示：
 
圆锥的底面半径R=3，母线长l=5，
则圆锥的高h=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
当圆锥内部放置一个内接圆柱的底面半径为r时，圆柱的高x满足：$\frac{r}{R}=\frac{h-x}{h}$，即x=4-$\frac{4}{3}r$，
故圆柱的体积V=${4{πr}^{2}-\frac{4}{3}πr}^{3}$；
（Ⅱ）由（I）得：V′=8πr-4πr²，
当r∈（0，2）时，V′＞0，V随r的增大而增大；
当r∈（2，3）时，V′＜0，V随r的增大而减小；
故当r=2时，V取最大值$\frac{16}{3}π$

点评 本题考查的知识点是圆柱和圆锥的几何特征，函数的最大值，难度中档．