Question

关于二项式（x-1）²⁰¹³，有下列命题：
①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；
②该二项展开式中第六项为

C

6 2013

x2007；
③该二项展开式中系数最大的项为第1008项；
④当x=2013时，（x-1）²⁰¹³除以2013的余数是2012．
其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：对于四个命题分别利用二项式定理分析，找出正确命题．

解答： 解：对于①，令x=1得到展开式的各项系数和为0，而它的常数项为-1，所以该二项展开式中非常数项的系数之和是0-（-1）=1；故①正确；
对于②，该二项展开式中第六项为

C

5 2013

x2013-5(-1)5=-

C

5 2013

x2008，不是

C

6 2013

x2007；故②错误；
对于③，该二项展开式共有2014项，其中系数最大的项为第1007项，不是第1008项；故③错误；
对于④，当x=2013时，（x-1）²⁰¹³的展开式除了最后一项，其它各项都有因数2013，而最后一项是-1，所以它除以2013的余数是2012．
故答案为：①④．

点评：本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的特征项的求法减去二项式定理的应用．