Question

19．数列{（4n+3）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ}的前n项和为S_n=$\frac{9}{2}$-$\frac{4n+9}{2•{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：由前n项和为S_n=7•$\frac{1}{3}$+11•$\frac{1}{9}$+15•$\frac{1}{27}$+…+（4n+3）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=7•$\frac{1}{9}$+11•$\frac{1}{27}$+15•$\frac{1}{81}$+…+（4n+3）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{7}{3}$+4[$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{27}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]-（4n+3）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{7}{3}$+4•$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（4n+3）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得前n项和为S_n=$\frac{9}{2}$-$\frac{4n+9}{2•{3}^{n}}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$-$\frac{4n+9}{2•{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．