Question

直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点？
（2）是否存在实数a，使|

OA

|=|

OB

|且

OA

+

OB

=λ（2，1）？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）将y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得（a²-3）x²+2ax+2=0，设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB为直径的圆经过圆点，得x₁x₂=-y₁y₂，由此能求出a=±1．
（2）假设存在实数a满足条件，则（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（2，1），x12+y12=x22+y22，由此能求出存在a=-2满足条件．

解答： 解：（1）将y=ax+1代入方程3x²-y²=1，
得3x²-（ax+1）²=1，
整理，得（a²-3）x²+2ax+2=0，
设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

2a

a2-3

，x₁x₂=

2

a2-3

，
所以，y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1
因为以AB为直径的圆经过圆点
所以OA⊥OB，故OA与OB的斜率的乘积为-1．
∴x₁x₂=-y₁y₂，
即

2

a2-3

=-1，解得a=±1．
（2）假设存在实数a满足条件．
∵

OA

+

OB

=λ（2，1），∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（2，1），
又|

OA

|=|

OB

|，∴x12+y12=x22+y22，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2λ（x₁-x₂）+λ（y₁-y₂）=0，
∴a=

y1-y2

x1-x2

=-

2λ

λ

=-2．
故存在a=-2满足条件．

点评：本题考查以AB为直径的圆过原点时实数a的值的求法，考查是否存在实数a，使|

OA

|=|

OB

|且

OA

+

OB

=λ（2，1）的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．