Question

已知α是锐角．
（1）求证：1＜sinα+cosα＜

π

2

；
（2）利用单位圆中的三角函数线求同时满足sinα≤

3

2

，cos≥

3

2

的α的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用单位圆与三角函数线，结合图形即可证明；
（2）画出图形，结合单位圆中的三角函数线，写出α的取值范围．

解答： 解：（1）证明：∵α为锐角，α的终边落在第一象限内，
设α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），
则sinα=MP，cosα=OM=NP，
利用三角形两边之和大于第三边得：sinα+cosα=MP+OM＞1；
又∵sinα+cosα=MP+OM＜

PA

+

PB

=

AB

=

π

2

，
∴1＜sinα+cosα＜

π

2

．

（2）画出图形，如图所示；
单位圆中的三角函数线同时满足sinα≤

3

2

，cos≥

3

2

的α是

- 4π 3 +2kπ≤x≤ π 3 +2kπ - π 6 +2kπ≤x≤ π 6 +2kπ，k∈Z

；
即α的取值范围是{-

π

6

+2kπ≤x≤

π

6

+2kπ，k∈Z}．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，用单位圆中的三角函数线表示三角函数的值的应用问题，考查了数形结合方法的应用问题，是基础题．