Question

设f（x）=

1

3

x³+mx²+nx，g（x）=f′（x）-2x-3的图象关于x=-2对称，
（1）若f′（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象与图象变化,导数的运算

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用x=0处导数为零，g（x）图象关于x=-2对称列出方程组，解出m，n即可．
（2）先求导数，然后解导数大于零或小于零列出不等式求解得到原函数的增区间、减区间，要注意对n进行讨论．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=x²+2mx+n．
g（x）=x²+2（m-1）x+n-3，
因为g（x）的图象关于x=-2对称，所以1-m=-2，所以m=3．
又f′（x）=-2，所以n=-2．
所以f(x)=

1

3

x3+3x2+2x．
（2）设f′（x）=x²+6x+n＞0，
当△=36-4n＞0，即n＜9，
则当n＜9时，f′（x）＞0，解得x＜-3-

9-n

或x＞-3+

9-n

．
故函数的增区间为(-∞，-3-

9-n

)，(-3+

9-n

，+∞)．
减区间为(-3-

9-n

，-3+

9-n

)．
当n≥9时，△≤0，f′（x）≥0在R上恒成立，增区间为（-∞，+∞）．

点评：本题考查了导数在研究函数的单调性方面的应用，要注意对相应的参数进行讨论，确定不等式的解，从而得到原函数的单调区间．