Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，方程有实数根.

【解析】试题分析：（1）函数求导，从而得单调区间；

（2）方程有实数根，即函数存在零点，分类讨论函数的单调性，从而得有零点时参数的范围.

试题解析：

（1）依题意，得 ，.

令，即.

解得；

令，即.

解得.

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题得， .

依题意，方程有实数根，

即函数存在零点.

又.

令，得.

当时，.

即函数在区间上单调递减，

而， .

所以函数存在零点；

当时，，随的变化情况如下表：

所以为函数的极小值，也是最小值.

当，即时，函数没有零点；

当，即时，注意到，

，

所以函数存在零点.

综上所述，当时，方程有实数根.