Question

【题目】设f（x）=ax2﹣（a+1）x+1
（1）解关于x的不等式f（x）＞0；
（2）若对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）＞0，即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，

即有（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

当a=0时，即有1﹣x＞0，解得x＜1；

当a＜0时，即有（x﹣1）（x﹣ ）＜0，

由1＞ 可得 ＜x＜1；

当a=1时，（x﹣1）2＞0，即有x∈R，x≠1；

当a＞1时，1＞ ，可得x＞1或x＜ ；

当0＜a＜1时，1＜ ，可得x＜1或x＞ ．

综上可得，a=0时，解集为{x|x＜1}；

a＜0时，解集为{x| ＜x＜1}；

a=1时，解集为{x|x∈R，x≠1}；

a＞1时，解集为{x|x＞1或x＜ }；

0＜a＜1时，解集为{x|x＜1或x＞ }

（2）解：对任意的a∈[﹣1，1]，不等式f（x）＞0恒成立，

即为ax2﹣（a+1）x+1＞0，

即a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．

则g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，

即﹣（x2﹣1）﹣x+1＞0，且（x2﹣1）﹣x+1＞0，

即（x﹣1）（x+2）＜0，且x（x﹣1）＞0，

解得﹣2＜x＜1，且x＞1或x＜0．

可得﹣2＜x＜0．

故x的取值范围是（﹣2，0）

【解析】（1）对f（x）＞0，变形为（ax﹣1）（x﹣1）＞0，对a讨论，分a=0，a＜0，a=1，a＞1，0＜a＜1，化简不等式，即可得到所求解集；（2）由题意可得，a（x2﹣1）﹣x+1＞0，对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．设g（a）=a（x2﹣1）﹣x+1，a∈[﹣1，1]．可得g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，由二次不等式的解法，即可得到所求x的范围．