Question

18．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=B₁C=2AB=2AC=2，∠BAC=90°，∠BAA₁=120°．
（1）求证：AB⊥平面AB₁C；  
（2）求多面体CAA₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB₁⊥AB．AC⊥AB．由此能证明AB⊥平面AB₁C．
（2）多面体CAA₁B₁C₁的体积：${V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}-{V_{{B_1}-ABC}}=\frac{2}{3}{V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}$．由此能求出结果．

解答 证明：（1）依题意，∠BAA₁=120°，
故∠ABB₁=60°，
在△ABB₁中，AB=1，BB₁=AA₁=2，∠ABB₁=60°，
由余弦定理得$A{B_1}^2=A{B^2}+B{B_1}^2-2AB•B{B_1}•cos∠AB{B_1}=3$，
∴$A{B_1}=\sqrt{3}$，∴$B{B_1}^2=A{B^2}+A{B_1}^2$，
∴AB₁⊥AB．又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB．
又∵AC∩AB₁=A，
∴AB⊥平面AB₁C．
解：（2）∵$A{B_1}=\sqrt{3}，AC=1，{B_1}C=2$，故AB₁⊥AC，
∵AB₁⊥AB，AC∩AB=A，故AB₁⊥平面ABC，
依题意，多面体CAA₁B₁C₁的体积：
${V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}-{V_{{B_1}-ABC}}=\frac{2}{3}{V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{2}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×1×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．