Question

（1）求下列函数的导数
①y=x（x²+

1

x

+

1

x3

）；  ②y=（

x

+1）（

1

x

-1）；
（2）已知函数f（x）=3x+2cosx+sinx，且a=f′(

π

2

)，f′（x）是f（x）的导函数，求过曲线y=x³上一点P（a，b）的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）①利用单项式乘多项式化简，然后利用基本初等函数的导数公式化简；
②利用多项式乘多项式化简，然后利用基本初等函数的导数公式化简；
（2）求出函数f（x）的导函数，结合a=f′(

π

2

)求得a的值，把点P（a，b）代入y=x³求b的值，然后设出切点Q的坐标，求出切线方程，结合P的坐标求出切点坐标，则切线方程可求．

解答： 解：（1）①y=x（x²+

1

x

+

1

x3

）=x3+1+

1

x2

，
∴y′=3x2-

2

x3

；  
②y=（

x

+1）（

1

x

-1）

x

•

1

x

-

x

+

1

x

-1=-x

1

2

+x

1

2

，
∴y′=-

1

2

x-

1

2

-

1

2

x-

3

2

=

-1

2 x

(1+

1

x

)；
（2）由f（x）=3x+2cosx+sinx，得f′（x）=3-2sinx+cosx，
则a=f′(

π

2

)=1，
∴P（1，1），
设切点Q（x₀，y₀），
又y′=3x²，
∴得切线斜率k=3x02，
∴曲线在点Q处的切线方程为：
y-x03=3x02(x-x0)，
又切线过点P（1，1），
∴有1-x03=3x02(1-x0)，整理得：(x0-1)(2x02-1)=0，
解得：x₀=1或x0=

2

2

或x0=-

2

2

，
∴切线方程为：y=3x-2或y=

3

2

x±

2

2

．

点评：本题考查了基本初等函数的导数公式，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题．