Question

7．若直线y=kx+1（k＞0）是曲线$y=\sqrt{x}$的切线，则k=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设出切点坐标，求出切线方程，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：设切点坐标为（a，b），
则函数$y=\sqrt{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，则切线斜率k=f′（a）=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
则对应的切线方程为则y-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
即y=$\frac{1}{2\sqrt{a}}x$$+\frac{\sqrt{a}}{2}$，则k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$且$\frac{\sqrt{a}}{2}$=1，
解得a=4，k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$

点评 本题主要考查导数的几何意义，设出切点坐标建立方程关系是解决本题的关键，是中档题．