Question

已知函数f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1（a∈R）
（1）若函数f（x）在（0，2）上无零点，研究函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），若对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）在（0，2）上无零点，故△≤0，或

△＞0 f(2)＜0

，解出a的范围，再研究函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性；
（2）先求F（0）与F（1），因为对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1，所以

|F(0)|＜1 |F(1)|＜1

，先求出a的范围，得对称轴方程，从而易求函数F（x）的最大值
与最小值，要使对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，只要最大值、最小值的绝对值都小于1即可．

解答： 解：（1）∵f（x）在（0，2）上无零点，
∴△≤0，或

△＞0 f(2)＜0

∴a≥0或a≤-12
当a≥0时，y=|g（x）|=2ax+1在（0，2）上递增；
当a≤-12，y=|g（x）|=|2ax+1|在(0，-

1

2a

)上递减，在(-

1

2a

，2)上递增．
（2）F（x）=3x²-2ax+a-1，x∈[0，1]
F（0）=a-1，F（1）=2-a，
∵对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1，∴

|F(0)|＜1 |F(1)|＜1

∴

|a-1|＜1 |2-a|＜1

∴1＜a＜2
∴x=

a

3

∈(

1

3

，

2

3

)
∴F(x)min=F(

a

3

)，F(x)max=max{F(0)，F(1)}，
要使对任意的x∈[0，1]，恒有|F（x）|＜1成立，只要最大值、最小值的绝对值都小于1即可，
∴

F( a 3 )＞-1 F(0)＜1 F(1)＜1

∴

0＜a＜3 a＜2 a＞1

∴1＜a＜2

点评：本题只要考查二次函数的性质，先找出a的范围，从而对称性易于研究，这是本题的突破口．