Question

6．已知关于的不等式$\frac{ax-3}{{x}^{2}-a}$≤0的解集为M．
（1）若3∈M，且5∉M，求实数a的取值范围；
（2）若a＞3，求集合M．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{3a-3}{9-a}$≤0 ①，且 $\frac{5a-3}{25-a}$＞0 ②，分别求得①和②的解集，再取交集，记得所求．
（2）由题意可得$\frac{3}{a}$＜1，且 $\sqrt{a}$＞$\frac{3}{a}$，不等式即$\frac{a（x-\frac{3}{a}）}{（x-\sqrt{a}）（x+\sqrt{a}）}$≤0，用穿根法求得它的解集．

解答 解：（1）关于的不等式$\frac{ax-3}{{x}^{2}-a}$≤0的解集为M，若3∈M，且5∉M，
则有$\frac{3a-3}{9-a}$≤0 ①，且 $\frac{5a-3}{25-a}$＞0 ②，解①求得 a≤1 或a＞9，
解②求得 $\frac{3}{5}$＜a＜25，
故原不等式的解集为（$\frac{3}{5}$，1]∪（9，25）．
（2）若a＞3，则由不等式$\frac{ax-3}{{x}^{2}-a}$≤0 可得$\frac{3}{a}$＜1，且 $\sqrt{a}$＞$\frac{3}{a}$，
不等式即$\frac{a（x-\frac{3}{a}）}{（x-\sqrt{a}）（x+\sqrt{a}）}$≤0，
用穿根法求得它的解集为（-∞，-$\sqrt{a}$）∪[$\frac{a}{3}$，$\sqrt{a}$）．
即集合M=（-∞，-$\sqrt{a}$）∪[$\frac{a}{3}$，$\sqrt{a}$）．

点评 本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．