Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为

2

，且过点（4，-

10

）．
（1）求此双曲线的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率为

2

，得c=

2

a，可得a=b，设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0），将（4，-

10

）代入，求出λ，即可求双曲线的方程；
（2）将M（3，m）代入双曲线方程，得m=±

3

，证明kF1M•kF2M=-1，可得F₁M⊥F₂M．

解答： （1）解：由离心率e=

c

a

=

2

，得c=

2

a，∴a=b，
设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0），将（4，-

10

）代入得λ=6，
∴此双曲线的方程为x²-y²=6．
（2）证明：将M（3，m）代入双曲线方程，得m=±

3

，
∵F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），
∴kF1M•kF2M=

m

3+2 3

•

m

3-2 3

=-1，
∴F₁M⊥F₂M．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查点与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，正确求出双曲线的方程是关键．