在极坐标系中.已知曲线C1:ρ=2cosθ.将曲线C1上的点向左平移一个单位.然后纵坐标不变.横坐标伸长到原来的2倍.得到曲线C.又已知直线l:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$.且直线l与曲线C交于A.B两点．(1)求曲线C的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．在极坐标系中，已知曲线C₁：ρ=2cosθ，将曲线C₁上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C，又已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+tcos\frac{π}{4}}\\{y=tsin\frac{π}{4}}\end{array}\right.$（t是参数），且直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（2）设定点P（$\sqrt{2}$，0），求|PA|+|PB|．

分析（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，化曲线C₁的方程为（x-1）²+y²=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$中，得$\frac{5}{2}{t}^{2}+2t-2=0$，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．

解答解：（1）曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-2x=0即（x-1）²+y²=1．
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
∴曲线C表示焦点坐标为（$-\sqrt{3}$，0），（$\sqrt{3}$，0），长轴长为4的椭圆
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$中，得$\frac{5}{2}{t}^{2}+2t-2=0$．
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂
则t₁+t₂=-$\frac{4}{5}$，t₁t₂=-$\frac{4}{5}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$

点评本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，以及韦达定理和正弦函数的最值的运用，属于中档题．

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	A．	（a，+∞）
	B．	（-∞，a）
	C．	当a＞1时，解集是（a，+∞）；当0＜a＜1时，解集是（-∞，a）
	D．	当a＞1时，解集是（-∞，a）；当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）

2．设sin2α=-$\sqrt{3}$cosα，α∈（-$\frac{π}{2}$，0），则tan2α的值是（　　）

$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

D．

$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

19．