Question

6．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．
（1）证明：CD=CE；
（2）求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；
（2）证明△CDB∽△CAD，即可求$\frac{AD}{BD}$的值．

解答 （1）证明：∵CD是圆O的切线，
∴∠CDB=∠DAB，
∵∠ADB的平分线交AB于点E，
∴∠EDA=∠EDB，
∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，
∴∠CED=∠EDC，
∴CD=CE；
（2）解：∵CD是圆O的切线，
∴CD²=CB•CA=3，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∵∠CDB=∠DAC，
∴△CDB∽△CAD，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查用弦切角定理，角平分线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．