Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足：a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），求证：S_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*），由此能求出a_n=10-2n．
（2）由b_n=

1

n(12-an)

=

1

n(12-10+2n)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项求和法能证明S_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n（n∈N^*）
∴{a_n}是等差数列，设公差为d，
∵a₁=8，a₄=a₁+3d=8+3d=2，∴d=-2，
∴a_n=8+（n-1）（-2）=10-2n．
（2）证明：b_n=

1

n(12-an)

=

1

n(12-10+2n)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）＜

1

2

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．