Question

20．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为$\frac{4}{5}$的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|²+|PT|²为定值．

Answer 1

分析 （1）推导出直线AB的方程为y=$\frac{b}{a}x+b$，直线CF的方程为y=$\frac{b}{a}x$-b．把点（3a，16）分别代入直线的方程$\left\{\begin{array}{l}{16=\frac{b}{a}×3a+b}\\{16=\frac{b}{c}×3a-b}\end{array}\right.$，b=4，且3a=5c，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设直线的方程为x=$\frac{5}{4}y+m$，代入$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得：25y²+20my+8（m²-25）=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能证明PS|²+|PT|²是定值．

解答 解：（1）由椭圆C的左顶点A（-a，0），上下顶点坐标为B（0，b），C（0，-b），
右焦点为F（c，0），则直线AB的方程为y=$\frac{b}{a}x+b$，
直线CF的方程为y=$\frac{b}{a}x$-b．
又∵直线AB与直线CF的交点为（3a，16），
把点（3a，16）分别代入直线的方程$\left\{\begin{array}{l}{16=\frac{b}{a}×3a+b}\\{16=\frac{b}{c}×3a-b}\end{array}\right.$，
解得b=4，且3a=5c，
又∵a²=b²+c²，解得a=5，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）设直线的方程为x=$\frac{5}{4}y+m$，代入$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
并整理得：25y²+20my+8（m²-25）=0，
设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{4}{5}m$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{m}^{2}-25）}{25}$，
又∵|PS|²=（x₁-m）²+y₁²=$\frac{41}{6}{{y}_{1}}^{2}$，
同理，|PT|²=$\frac{41}{6}{{y}_{2}}^{2}$，
则|PS|²+|PT|²=$\frac{41}{16}（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）$=$\frac{41}{16}[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}]$=$\frac{41}{16}[（-\frac{4m}{5}）^{2}-\frac{16（{m}^{2}-25）}{25}]$=41，
∴|PS|²+|PT|²是定值．

点评 本题考查椭圆方程求法，考查两线段和平方和为定值的证明，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．