Question

5．已知数列{a_n}为正项等差数列，满足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$≤1（其中k∈N^*，且k≥2），则a_k的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由等差数列的性质得${a}_{k}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2k-1}}{2}$，结合$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$≤1利用基本不等式求得a_k的最小值．

解答 解：∵数列{a_n}为正项等差数列，且$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$≤1，
∴${a}_{k}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2k-1}}{2}$≥$\frac{{a}_{1}+{a}_{2k-1}}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$）=$\frac{1}{2}（5+\frac{{a}_{2k-1}}{{a}_{1}}+\frac{4{a}_{1}}{{a}_{2k-1}}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{{a}_{2k-1}}{{a}_{1}}•\frac{4{a}_{1}}{{a}_{2k-1}}}）$=$\frac{9}{2}$．
当且仅当$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$=1，且$\frac{{a}_{2k-1}}{{a}_{1}}=\frac{4{a}_{1}}{{a}_{2k-1}}$，即a₁=3，a_2k-1=6时上式等号成立．
∴a_k的最小值为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．