Question

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是$\widehat{AC}$的中点，BD交AC于点E．
（I）求证：AB•CD=BD•AE
（Ⅱ）若CD=2，AC=2$\sqrt{3}$，求⊙O的面积S．

Answer 1

分析 （I）证明△ABE∽△DBC，可得AB•CD=BD•AE
（Ⅱ）若CD=2，AC=2$\sqrt{3}$，利用余弦定理得出cos∠ADC，可得sin∠ADC，利用正弦定理求出半径，即可求⊙O的面积S．

解答 （I）证明：∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠ABE=∠DBC，
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DBC，
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{AE}{DC}$，
∴AB•CD=BD•AE；
（Ⅱ）解：∵CD=AD=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠ADC=$\frac{4+4-12}{2×2×2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2R=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴R=2，
∴⊙O的面积S=π•2²=4π．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．