Question

16．下列函数的最小值是2的为（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinx+$\frac{1}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
• C． y=$\frac{{{x^2}+2}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$
• D． y=x+$\frac{1}{x-1}$（x＞1）

Answer 1

分析 根据基本不等式的使用条件，即可得出结论．

解答 解：x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$的最小值是2，故A不正确；
x∈（0，$\frac{π}{2}$），0＜sinx＜1，函数取不到2，故B不正确；
y=$\frac{{{x^2}+2}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2，x=0时取等号，即函数的最小值是2，故正确；
x＞1，x-1＞0，则y=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1≥2+1，x=02取等号，即函数的最小值是3，故不正确；
故选：C．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，注意基本不等式的使用条件是关键．