Question

7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB+sinC），向量$\overrightarrow{n}$=（b-c，a-c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B；
（2）求sinA•cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意和向量共线的坐标运算列出方程，由正弦定理化简后，由余弦定理求出cosB的值，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B；
（2）由（1）和内角和定理表示出C，由二倍角公式及变形、两角和的正弦公式化简sinAcosC，由A 的范围和正弦函数的图象和性质，求出sinAcosC范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB+sinC），$\overrightarrow{n}$=（b-c，a-c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴sinA（a-c）-（sinB+sinC）（b-c）=0，
由正弦定理得，a（a-c）-（b+c）（b-c）=0，
则a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）得，A+C=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
则sinAcosC=sinAcos（$\frac{2π}{3}$-A）
=sinA（-$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）=-$\frac{1}{4}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1-cos2A）
=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由B=$\frac{π}{3}$可知 0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
则-1≤sin（2A+$\frac{π}{3}$）≤1，即 $\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{2}$，
∴sinAcosC的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查二倍角公式及变形、两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质，向量共线坐标运算，以及正弦定理、余弦定理，考查三角函数的化简和求值，考查化简、运算能力．