Question

11．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF，其中BC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求证：平面DEG∥平面BCF；
（2）若D，E为AB，AC上的中点，H为BC中点，求异面直线AB与FH所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）运用面面平行的判定定理，可先证DG∥平面BCF，EG∥平面BCF，即可得到；
（2）连接EH，运用中位线定理可得异面直线AB与FH所成角即为∠FHE，再由直角三角形的性质和余弦定理，即可得到所求值．

解答 证明：（1）如题图1，在等边三角形ABC中，AB=AC，
∵AD=AE，∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
∴DE∥BC，∴DG∥BF，
如题图2，∵DG?平面BCF，
∴DG∥平面BCF，…（2分）
同理可证EG∥平面BCF，
∵DG∩EG=G，
∴平面DEG∥平面BCF…（4分）
解：（2）连EH，
∵EH是△CAB的中位线，
∴$EH∥AB，EH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$
∴异面直线AB与FH所成角即为∠FHE…（6分）
∵$在△BCF中BF=FC=\frac{1}{2}，BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴△BFC为RT△，∴$FH=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
又∵$FE=\frac{1}{2}$
∴cos∠FHE=$\frac{F{H}^{2}+E{H}^{2}-E{F}^{2}}{2FH•EH}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{16}-\frac{1}{4}}{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（8分）

点评 本题考查面面平行的证明和异面直线所成角的求法，注意运用线面平行的判定定理和平移法，考查空间想象能力和推理及计算能力，属于中档题．