题目内容
19．为了减少能源损耗，某工厂需要给生产车间建造可使用20年的隔热层．已知建造该隔热层每厘米厚的建造成本为3万元．该生产车间每年的能源消耗费用M（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：M（x）=$\frac{k}{x+2}$（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为7.5万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用只和．（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）试问当隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最少？并求出最少费用．
分析 （1）由建筑物每年的能源消耗费用M（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：M（x）=$\frac{k}{x+2}$（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为7.5万元．可得M（0）=7.5，得k=15，进而得到M（x）=$\frac{15}{x+2}$．建造费用为M1（x）=3x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），即可得到f（x）的表达式；
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性求出总费用f（x）的最小值．
解答 解：（1）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为M（x）=$\frac{k}{x+2}$（0≤x≤10），
再由M（0）=7.5，得k=15，
因此M（x）=$\frac{15}{x+2}$．
而建造费用为M1（x）=3x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f（x）=20M（x）+M1（x）=20×$\frac{15}{x+2}$+3x=$\frac{300}{x+2}$+3x（0≤x≤10）；
（2）f′（x）=3-$\frac{300}{（x+2）^{2}}$，令f'（x）=0，
解得x=8，或x=-12（舍去）．
当0＜x＜8时，f′（x）＜0，当8＜x＜10时，f′（x）＞0，
故x=8是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（8）=$\frac{300}{8+2}+3×8=54$．
故当隔热层修建8cm厚时，总费用达到最小值为54万元．
点评 本题考查函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．
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