某景区客栈的工作人员为了控制经营成本.减少浪费.合理安排入住游客的用餐.他们通过统计每个月入住的游客人数.发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化.并且有以下规律:①每年相同的月份.入住客栈的游客人数基本相同,②入住客栈的游客人数在2月份最少.在8月份最多.相差约400人,③2月份入住客栈的游客约为100人.随后逐月递增直到8月� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
（1）若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）近似描述，求该函数解析式．
（2）请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？

分析（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{-A+b=100}\\{A+b=500}\end{array}\right.$，解得A，b．又$\frac{2π}{ω}$=2×（8-2），解得ω．可得y=f（x）=200sin$（\frac{π}{6}x+φ）$+300．又sin$（\frac{π}{6}×2+φ）$=-1，又0＜|φ|＜π，解得φ，即可得出．
（2）由200sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$+300≥400，化简利用正弦函数的单调性值域即可得出．

解答解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{-A+b=100}\\{A+b=500}\end{array}\right.$，解得A=200，b=300．
又$\frac{2π}{ω}$=2×（8-2），解得ω=$\frac{π}{6}$．
∴y=f（x）=200sin$（\frac{π}{6}x+φ）$+300．
又sin$（\frac{π}{6}×2+φ）$=-1，又0＜|φ|＜π，
解得φ=$-\frac{5π}{6}$．
∴y=f（x）=200sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$+300．
（2）由200sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$+300≥400，
化为：sin$（\frac{π}{6}x-\frac{5π}{6}）$$≥\frac{1}{2}$，（x∈N^*，1≤x≤12）
解得x=6，7，8，9，10．
因此应该在6，7，8，9，10月份要准备不少于400人的用餐．

点评本题考查了正弦函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．