Question

若函数f（x）=sinωxcosωx+

3

sin²ωx-

3

2

（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次构成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求ω及m的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．

Answer 1

考点：数列的求和,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）把f（x）=sinωxcosωx+

3

sin²ωx-

3

2

利用二倍角的余弦公式化简，然后由周期公式求周期；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx-

π

3

），结合在x∈[0，2π]上的零点求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+

3

sin²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

（1-cos2ωx）-

3

2

=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx=sin（2ωx-

π

3

），
依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0，
∴2ω=

2π

π

=2，
∴ω=1，则m=±1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx-

π

3

），∴2x-

π

3

=kπ(k∈Z)，
∴x=

kπ

2

+

π

6

．
又∵x∈[0，2π]，
∴x=

π

6

，

2π

3

，

7π

6

，

5π

3

．
∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为

π

6

+

2π

3

+

7π

6

+

5π

3

=

11π

3

．

点评：本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．