Question

已知函数f(x)=2

3

sin2

x

2

+sinx-

3

+1．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）作出f（x）在一个周期内的图象．

Answer 1

（Ⅰ）由已知f(

π

3

)=2

3

sin2

π

6

+sin

π

3

-

3

+1…（2分）
=

3

2

+

3

2

-

3

+1=1．…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=

3

(1-cosx)+sinx-

3

+1…（6分）
=sinx-

3

cosx+1=2sin(x-

π

3

)+1．…（7分）
∵函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，…（8分）
由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

．
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

](k∈Z)．…（9分）
（Ⅲ）列表：

x	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3
x- π 3	0	π 2	π	3π 2	2π
2sin（x- π 3 ）	0	2	0	-2	0

作出f（x）在一个周期[

π

3

，

7π

3

]上的图象如图所示．…（12分）