Question

函数f（x）=-x³-ax²+2bx（a，b∈R）在区间[-1，2]上单调递增，则

b

a

的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1）∪（2，+∞）
• B、（2，+∞）
• C、（-∞，-1）
• D、（-1，2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：先求出导函数，欲使函数f（x）在区间[1，2]上单调递增可转化成f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，可得a，b满足的约束条件，利用线性规划知识可求

b

a

的取值范围．

解答： 解：f′（x）=-3x²-2ax+2b，
∵f（x）在[-1，2]上单调递增，
∴f′（x）≥0，即-3x²-2ax+2b≥0在[-1，2]上恒成立，
有

-3+2a+2b≥0 -12-4a+2b≥0

，即

a+b- 3 2 ≥0 2a-b+6≤0

，
则点（a，b）构成的区域如下图所示：
而

b

a

表示点（a，b）与原点连线的斜率，
由图可得

b

a

的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞），
故选：A．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于中档题．