Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直平面ABCD，AD=CD，DB平分角ADC，E为PC的重点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：AC⊥平面PBD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）证明：设AC∩BD=H，连结EH．证明EH∥PA．利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE．
（2）证明PD⊥AC．DB⊥AC．通过直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面PBD．

解答： （1）证明：设AC∩BD=H，连结EH．
在△ADC中，∵AD=CD，且DB平分∠ADC，
∴H为AC的中点．
又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA．
又EH⊆平面BDE，且PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，∴PD⊥AC．
由（1）可得，DB⊥AC．
又PD∩DB=D，故AC⊥平面PBD．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．