Question

如图所示，已知圆O：x²+y²=1与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，M是圆O上任意点（除去圆O与两坐标轴的交点）．直线AM与直线BC交于点P，直线CM与x轴交于点N，设直线PM、PN的斜率分别为m、n．
（Ⅰ）求直线BC的方程；
（Ⅱ）求点P、M的坐标（用m表示）；
（Ⅲ）是否存在一个实数λ，使得m+λn为定值，若存在求出λ，并求出这个定值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（I）由B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，1），利用待定系数法，可得直线BC的方程；
（Ⅱ）由A点坐标为（-1，0），直线AM即直线PM的斜率为m，可得直线AM即直线PM的方程，联立（I）中BC的方程，可得点P的坐标，联立单位圆的方程可得M点的坐标；
（Ⅲ）由斜率公式，结合M，C点坐标，求出直线CM的方程，进而求出N点坐标，结合直线PN的斜率为n可得n值，设存在一个实数λ，使得m+λn为定值k，则m+λn=m+

λm-λ

2

=k，即（λ+2）m-（λ+k）=0恒成立，令λ+2=λ+k=0可得答案．

解答： 解：（I）∵B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，1），
设直线BC的方程为：y=kx+b，
则k+b=0，b=1，
解得：k=-1，b=1，
故直线BC的方程为：y=-x+1，即x+y-1=0．…①
（II）由A点坐标为（-1，0），直线AM即直线PM的斜率为m，
故直线AM即直线PM的方程为：y=m（x+1）…②
由①②得：x=

1-m

1+m

，y=

2m

1+m

，
即P点的坐标为：（

1-m

1+m

，

2m

1+m

），
将②代入x²+y²=1得：
（m²+1）x²+2m²x+（m²-1）=0
解得：x=-1（舍）或x=

1-m2

1+m2

，
则y=

2m

1+m2

，
故M的坐标为：（

1-m2

1+m2

，

2m

1+m2

）；
（III）由（II）得：M的坐标为：（

1-m2

1+m2

，

2m

1+m2

）；
结合C点坐标为（0，1），故k_CM=

2m 1+m2 -1

1-m2 1+m2

=

m-1

m+1

，
故直线CM的方程为：y=

m-1

m+1

x+1，
令y=0，得x=

1+m

1-m

，
故N点的坐标为（

1+m

1-m

，0），
由直线PN的斜率为n．
故n=

2m 1+m

1-m 1+m - 1+m 1-m

=

m-1

2

若存在一个实数λ，使得m+λn为定值k，
则m+λn=m+

λm-λ

2

=k，
即（λ+2）m-（λ+k）=0恒成立，
故λ=-2，k=2．

点评：本题考查的知识点是圆方程的综合应用，直线与圆的位置关系，斜率公式，存在性问题，是直线与圆的综合应用，难度较大，属于难题．