Question

12．已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a、b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值．

Answer 1

分析 （1）因为Q是切点，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²，列出等式即可；
（2）点P在直线l：2x+y-3=0 上．|PQ|_min=|PA|_min ，即求点A 到直线 l 的距离；

解答 解：（1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有
|PQ|²=|OP|²-|OQ|²
又由已知|PQ|=|PA|，故：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0．
（2）由（1）知，点P在直线l：2x+y-3=0 上．
∴|PQ|_min=|PA|_min ，即求点A 到直线 l 的距离．
∴|PQ|_min═$\frac{|2×2+1-5|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

点评 本题主要考查了切线与圆半径垂直性质，以及点到直线的距离公式等知识点，属中等题．