Question

19．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，AD=2，AB=PA=1，且．PA⊥平面ABCD．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求顶点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析 （I）推导出PA⊥AC，AB⊥AC，由此能证明AC⊥平面PAB，从而PB⊥AC．
（Ⅱ）推导出AC⊥CD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，进而平面PCD⊥平面PAC，过A作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD，由此能求出A到平面PCD的距离．

解答 （本题满分12分）
证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC；…（2分）
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，AB=1，
∴AC²=AB²+BC²-2 AB•BC cos60°=1+4-2=3，则AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC，…（4分）
又PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．…（6分）
解：（Ⅱ）由（I）知：AC⊥CD，又PA⊥CD，则CD⊥平面PAC，
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；…（8分）
过A作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD；…（10分）
在Rt△PAC中，AH=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即A到平面PCD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．