Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极小值0，无极大值；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ），令，得到的单调性即可得到极值；

（Ⅱ）在上恒成立，可构造函数，，令，，分，，讨论即可.

当时，

则，

令

解得(舍去)，.

当时，

在上单调递减；

当时，

在上单调递增，的极小值为，无极大值.

若在上恒成立，

即在上恒成立.

构造函数，

则

令.

若可知恒成立.

在上单调递增.

.

当即时，

在上恒成立，即在上恒成立.

在上恒成立，满足条件.

当即时，

，

存在唯一的使得.

当时，即

在单调递减.

，这与矛盾.

若由

可得(舍去)，

易知在上单调递减.

在上恒成立，

即在上恒成立.

在上单调递减.

在上恒成立，这与矛盾.

综上，实数的取值范围为.