Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，若是抛物线上一点，且.

（1）证明：直线经过的中点；

（2）求面积的最小值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为.

【解析】

（1）由题意得抛物线的焦点坐标和准线方程，设，直线：，可得的坐标，联立方程组，结合韦达定理，可得的斜率和直线的斜率，进而可得直线的方程，与抛物线联立可得两根之和，可得中点的纵坐标与的相同，即可证出直线经过的中点；

（2）根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式，求出点到直线的距离为，运用，结合均值不等式求出，即可求出直线的方程.

解：（1）由题意得抛物线的焦点，准线方程为，

设，直线：，

则，

联立和，

可得，

显然，可得，

因为，，

所以，

故直线：，

由，

得.

∴，，

所以的中点的纵坐标，即，

所以直线经过的中点.

（2）所以

，

设点到直线的距离为，

则.

所以，

当且仅当，即，

时，直线的方程为：，

时，直线的方程为：.

另解：

.