Question

【题目】已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______．

Answer 1

【答案】18

【解析】

联立方程组消元，由根与系数的关系得出A，B横坐标＝4，利用抛物线的性质得出|FA|+4|FB|4+10，根据基本不等式得出最值．

解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|+4|FB|＝x1+2+4（+2）＝+4+10，

当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|＝2+4×2+10＝20，

当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），

代入y2＝8x得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴＝4，∴|FA|+4|FB|4+10≥210＝18，

当且仅当x1＝1时取等号．

|FA|+4|FB|的最小值是18．

故答案为：18．