Question

【题目】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线倾斜角的余弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若圆的面积为，求圆的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）直线与圆相切，理由见解析 （3）

【解析】

（1）根据直线的倾斜角的余弦值为，求出a,b的等量关系即可求解离心率；

（2）通过计算可得直线与以为直径的圆相切，所以直线与圆相切；

（3）根据面积求出半径，依次列方程组求解参数的值.

解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线的倾斜角的余弦值为，所以，

于是，即，所以椭圆E的离心率

（2）由可设，，则，

于是的方程为：，

故的中点到的距离，

又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与以为直径的圆相切．

因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称，

所以直线与圆相切．

（3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而，

设的中点关于直线：的对称点为，

则解得．

所以，圆的方程为．