Question

14．知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）．
（1）求直线恒过定点的坐标；
（2）求当m=0时，直线被圆所截的弦长．．

Answer 1

分析 （1）将直线l变形，得到关于m的一次方程，得到关于x，y的方程组，解出可得直线l恒过定点；
（2）求出直线l的方程，联立直线和圆的方程，代入弦长公式即可．

解答 解：（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4
可化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
令 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线l恒过定点A（3，1）；
（2）m=0时，直线l：x+y-4=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{{（x-1）}^{2}{+（y-2）}^{2}=25}\end{array}\right.$，
消去y得：x²-3x-10=0，
解得：x=5或x=-2，
故弦长l=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=7$\sqrt{2}$．

点评 题考查直线恒过定点，考查弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，属于中档题．