Question

10．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值为1．
（1）求2a+b的值；
（2）若a+2b≥tab，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，从而求出2a+b的值即可；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出答案；
（2）法一：根据基本不等式的性质求出t的最大值即可；法二：分离参数t，根据不等式的性质求出t的最大值即可．

解答 解：（1）法一：$f（x）=|{x+a}|+|{2x-b}|=|{x+a}|+|{x-\frac{b}{2}}|+|{x-\frac{b}{2}}|$，
∵$|{x+a}|+|{x-\frac{b}{2}}|≥|{（{x+a}）-（{x-\frac{b}{2}}）}|=a+\frac{b}{2}$且$|{x-\frac{b}{2}}|≥0$，
∴$f（x）≥a+\frac{b}{2}$，当$x=\frac{b}{2}$时取等号，即f（x）的最小值为$a+\frac{b}{2}$，
∴$a+\frac{b}{2}=1，2a+b=2$；
法二：∵$-a＜\frac{b}{2}$，
∴$f（x）=|{x+a}|+|{2x-b}|=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-a+b，x＜-a}\\{-x+a+b，-a≤x＜\frac{b}{2}}\\{3x+a-b，x≥\frac{b}{2}}\end{array}}\right.$，
显然f（x）在$（{-∞，\frac{b}{2}}]$上单调递减，在$[{\frac{b}{2}，+∞}）$上单调递增，
∴f（x）的最小值为$f（{\frac{b}{2}}）=a+\frac{b}{2}$，∴$a+\frac{b}{2}=1，2a+b=2$；
（2）法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴$\frac{a+2b}{ab}≥t$恒成立，
$\frac{a+2b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=（{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}）（{2a+b}）•\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（{1+4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{c}}）≥\frac{1}{2}（{1+4+2\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{2b}{a}}}）=\frac{9}{2}$，
当$a=b=\frac{2}{3}$时，$\frac{a+2b}{ab}$取得最小值$\frac{9}{2}$，∴$\frac{9}{2}≥t$，即实数t的最大值为$\frac{9}{2}$；
法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴$\frac{a+2b}{ab}≥t$恒成立，
$t≤\frac{a+2b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{2}{a}$恒成立，$\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{4}{2a}≥\frac{{{{（{1+2}）}^2}}}{b+2a}=\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}≥t$，即实数t的最大值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性以及基本不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．